Blog del Departamento de Matemática de la Facultad Multidisciplinaria de Occidente de la Universidad de El Salvador. Noticias, actividades de alumnos y personal docente , artículos sobre matemática, curiosidades y más
No sabemos nunca bien lo que es una cosa si no somos capaces de darnos cuenta de su opuesta, dice Stuart Mill. Para que la lógica del razonamiento sea completa, debe comprender, pues, tanto la teoría de los razonamientos correctos como de los incorrectos. Aun los hombres más ilustres, agrega, a menudo razonan mal, y el único medio de evitar los malos razonamientos es el hábito de razonar bien, es la familiaridad con los principios del razonamiento correcto y la práctica en la aplicación de esos principios. Resulta, por consiguiente, sumamente útil averiguar en qué consiste y cuáles son estas diversas clases de razonamientos incorrectos que los hombres cometen y con los cuales se apartan de la verdad. Estos errores y equivocaciones en el razonamiento se llaman sofismas o falacias, es decir modos engañosos de razonar. Cuando el error lógico se comete sin intención de engañar se dice que es un paralogismo; en cambio si tiene la intención de engañar es un sofisma. Hoy se llaman, distintamente, sofismas a ambas clases de errores lógicos. Sin embargo, lógicos hay que consideran que los sofismas deben ser excluidos de todo tratamiento especial propio de la lógica, puesto que ésta sólo ha de ocuparse del razonamiento correcto porque resultaría ilógico estudiar los sofismas en la lógica. Pero a esto se ha hecho observar que del mismo modo que se tiene el dominio completo de la anatomía normal mediante el conociemiento de la anatomía patológica, y la psicología normal se completa con estudios especiales como la psiquiatría , también la lógica, como ciencia del pensamiento correcto y de la demostración, debe enseñar, asimismo. Los errores en que se suele caer cuando se hacen demostraciones falsas.
Pero conviene hacer una salvedad. Aunque la anatomía normal se completa con la anatomía patológica y la psicología con la psiquiatría, todas estas ciencias permanecen independientes. En cambio, el razonamiento verdadero y el sofisma no dan origen a diferentes ciencias, sino que forman parte de la misma ciencia aunque sus campos sean distintos. Los sofismas no son simples faltas contra la norma lógica, sino que son como dice Masci, razonamientos falsos que parecen verdaderos, y por eso la lógica debe enseñar a descubrir las causas de la simulación.
2.- Clasificación de los sofismas.
Se debe a Aristóteles la clasificación más antigua de los sofismas, quien los divide en dos grupos principales: sofismas verbales, y sofismas materiales o de pensamiento, según que el error de razonamiento dependa de los vocablos o de los hechos a que se refieren. Pero esta clasificación no es no es muy exacta porque no se enumeran en ella todas la falacias posibles ni se3 indican sus causas. Tampoco son exactas por la misma razón, las clasificaciones más modernas como la de Stuart Mill con ser la más importante. Este filósofo distingue los sofismas en morales e intelectuales de acuerdo con las causas que producen los errores en el razonamiento. El primer grupo no cabe dentro de la lógica, pero el segundo grupo sí, aunque, como se ha observado, está lejos de ser completo porque no establece una conexión entre las diversas clases de sofismas o los considera desde diferentes puntos de vista: en unos se hacer referencia a las causas mentales que lso producen, y en otras se toma en cuenta la especie de prueba que simulan.
Nosotros adoptaremos la clasificación propuesta y expuesta por Masci, a quien siguen muchos lógicos modernos y que resulta ser, en el fondo, una combinación de la aristotélica con la de Stuart Mill.
Este texto, forma parte del capìtulo IX del libro Lecciones de Lógica y Teoría del Conocimiento de Gregorio Fingermann. A continuación se ofrece un resumen que aparece al final de este capítulo, para que los lectores tengan una noción sobre cuales son los conceptos que serán el centro de los dos siguientes posts, y cuales son las relaciones que tienen según la división planteada por Aristóteles y los aportes hechos por Masci. No olviden dar click en la imagen para ver mejor el diagrama.
Puede parecer una pregunta tonta, pero ¿saben matemáticas las abejas?.Este hecho ya fue constatado por Papus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305.
Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel.
Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo.
Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por que eligieron entonces los hexágonos, si son mas difícil de construir?.
La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego "igual perímetro"). Papus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados.
Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel.
La pregunta es: ¿y quién le enseñó esto a las abejas?....
SORPRENDE A TUS AMIGOS
El truco es el siguiente: Pedís a alguien que escriba un número de cuatro cifras. En un papel aparte restas 2 a esa cifra y le pones un 2 delante:
Ejemplo: Si escriben 2435 nosotros escribiremos 22433
Escrib el número aparte, sin que nadie os vea. Después pedís a alguien que escriba otro número de 4 cifras debajo. Una vez hecho esto, decís que el siguiente lo vais a escribir vosotros. Tenéis que completar con nueves (es decir, hacer que la suma de vuestra cifra y la anterior de todo nueves).
Ejemplo: Si el primer número que han puesto es el 2435 y el segundo el 2354
2435
2354
7645
Hemos puesto el 7645 porque 7+2=9, 6+3=9, 5+4=9 y 4+5=9. Tenéis que ponerlo simulando que lo ponéis al azar.
Una vez hecho esto, repetimos la operación otra vez, decimos que pongan otro número de cuatro cifras debajo, y nosotros volvemos a poner otro completando a nueves con el anterior
2435
2354
7645 4278
5721
Ahora viene lo bueno: decimos a alguien que sume toda la columna. El resultado será el número que previamente habíamos copiado en un papel. Consejo: verificar antes porque casi todo el mundo se equivoca al hacer la suma.
Explicación: No tiene nada de misterioso. Fijémonos en los pares 2-3 y 4-5 de la columna. Ambos suman 9999, por lo que los 4 suman 19.998. Es decir, 20.000 menos 2. Sumado a la primer cifra es lo mismo que restarle 2 y ponerle un 2 delante.
TRUCO MATEMÁTICO
Este truco esta bien, es bastante sencillo, pero no es un truco que se pueda improvisar en un momento, a no ser que tengáis una gran capacidad de cálculo o una memoria prodigiosa. El truco es el siguiente: deberéis enseñar las siguientes columnas.
Pedir a alguien que piense en un número del 1 al 15. Pedir que os señale en cuales de las cuatro columnas aparece ese número. Para adivinar el número solo tendréis que sumar los números marcados en rojo de las columnas que os señalen.
Ejemplo: Si han pensado en el número 7, os señalarán las tres primeras columnas, sumando los tres números rojos, tendréis 1+2+4=7.
Explicación: En la primera carta están todos los números cuyo último dígito en el sistema binario es 1; la segunda contiene todos los números cuyo segundo dígito por la derecha es 1 (en el sistema binario), la tercera y la cuarta lo mismo. Los números marcados en rojo son las potencias de 2. Por lo tanto, cuando os señalan las columnas, os están indicando el desarrollo en binario del número elegido (aunque ellos no lo sepan).
La libertad implica tener derechos, pero también tener deberes, lo cual nos obliga a respetar el derecho de los otros y a vivir de conformidad con los preceptos que nos permitan la mejor interrelación con nuestros congéneres. Igualmente podemos decir que este valor representa una lucha permanente por lograr a plenitud el goce de la vida personal y espiritual. La libertad como tal, es un concepto dinámico por el que hemos de luchar constantemente para conservarla; debemos luchar contra todos los asomos de coaptación de la misma por el peligro que ello entraña. El concepto de libertad nos obliga a ser veraces y responsables, a ser honrados y sinceros. De acuerdo con estos preceptos, libertad es luchar por construir la forma de vida que mantenga la justa relación entre el individuo y la sociedad. En este sentido, señalamos el precepto de que los hombres deben ser gobernados como personas y no como cosas y para un bien común, verdaderamente humano que revierte sobre las personas y cuyo principal valor es la libertad.
La Libertad no es simplemente hacer lo que queramos hacer, y divertirnos; aunque algunos lo piensen así, al menos, por poco tiempo… La Libertad no puede ser considerada desde un punto de vista personal, ya que molestaríamos a los otros tratando egoístamente de perseguir nuestros deseos. La Libertad es ESTAR libre de ataduras y de explotación. Es un estado en el cual podemos crecer y aprender, ser nutridos, y en el cual podemos desarrollar nuestros talentos, y explorar la vida y el mundo en sus muchas dimensiones. Eso es lo que queremos para nosotros mismos, para nuestras familias, nuestros amigos y vecinos, nuestro país, el mundo…
PENSAMIENTOS RELACIONADOS CON LA LIBERTAD
“La libertad es el clima del GENIO: donde ésta No existe El genio NO florece” Dr. Amable Sánchez
"Compatriotas. Las armas os darán la independencia, las leyes os darán la libertad." Simón Bolívar
"Somos esclavos de las leyes para poder ser libres." Marco Tulio Cicerón
"Lo maravilloso de aprender es que nadie puede arrebatárnoslo." B.B. King
“El pueblo no es verdaderamente libre mientras que la libertad no esté arraigada en sus costumbres e identificada con ellas." Larra
“El recuerdo es el único paraíso del cual no podemos ser expulsados." J.P.Richter
El Dr. Alberto Sánchez nació en Santa Ana a las primeras horas de la noche, el 16 de julio de 1864.En 1876, contando con 13 años de edad, Alberto figuró como profesor de una escuela en Chinameca, que su hermano había fundado. En 1879 es enviado a San Salvador y luego a Santa Ana. En 1880 concluye en la Escuela Pública Superior de Santa Ana, los estudios de primaria con nota sobresaliente. En 1881 aprueba con éxito su primer año de Ciencias y Letras en un colegio privado.
En 1884 se traslada a San Salvador para cursar en la UES la carrera de Ingeniería.En 1887 cursa su último año de Ingeniería y en el mes de octubre de ese mismo año se graduó. El 1 de marzo de 1891, el Dr. Alberto Sánchez fue nombrado Director del Observatorio Astronómico y Meteorológico Nacional y tal institución se anexó como dependencia de la Universidad Nacional
El 11 de julio de 1894 el gobierno nombra director del Observatorio Meteorológico Nacional al Dr, Sánchez.El 21 de mayo de 1895 fue aprobado por el gobierno el "Reglamento Interior del Observatorio Nacional" escrito por el Dr. Sánchez.En 1895 descubre una curva que ya había intuido en 1886 y el fruto de sus investigaciones lo da a conocer en un opúsculo que público en la imprenta nacional
El 18 de enero de 1896 es sustituido por motivos de salud en las cátedras universitarias.
PRESENCIA DE ALBERTO SANCHEZ EN EL MUNDO CIENTÍFICO DE SU ÉPOCA
Don Alberto fue miembro de la Sociedad Matemática de Francia, Socio Perpetuo de Sociedad Astronómica de Francia, miembro de la Sociedad Astronómica de Manchester, Socio Fundador de la Sociedad Belga de Astronomía. Murió muy joven, a la edad de 32 años, a causa de la tuberculosis, el 25 de octubre de 1896.
La Cornoide
La Cornoide es construida de la siguiente forma: sea P un punto de la circunferencia de diámetro AB y sea Q el punto de intersección de la circunferencia con la paralela por el punto P al diámetro AB. Desde P se traza la recta tangente a la circunferencia y desde Q la recta perpendicular a la recta tangente. Sea C el punto intersección de de ambas rectas. Cuando el punto P describe la circunferencia, el punto C describe la Cornoide. El nombre de la curva proviene del hecho que su forma es muy parecida a la de un cuerno. Las ecuaciones que rigen tal curva son las siguientes rectangulares y polares, respectivamente:
En esta ecuación, r representa el valor del radio del circunferencia y las coordenadas x, y son las del punto de la CORNOIDE.
En la ecuación de coordenadas polares p , representa la distancia del centro de la circunferencia, al punto de la CORNOIDE. Igual que en la ecuación cartesiana, r es el radio de la circunferencia.
Las implicaciones de la palabra joya- valiosa, pequeñez, delicadeza que no está sujeta a la fragilidad, facilidad suma de traslación, limpidez que no excluye lo impenetrable, flor para los años- la hacen de uso legítimo aquí. No sé de mejor calidad para la paradoja de Aquiles, tan indiferente a las decisivas refutaciones que desde más de veintitrés siglos la derogan, que ya podemos saludarla inmortal. Las reiteradas visitas del misterio que esa perduración postula, las finas ignorancias a que fue invitada por ella la humanidad, son generaciones que no podemos no agradecerle. Vivámosla otra vez, siquiera para convencernos de perplejidad y de arcano íntimo. Pienso dedicar unas páginas-unos compartidos minutos- a su presentación y a la de sus correlativos más afamados. Es sabido que su inventor fue Zenón de Elea, discípulo de Parménides, negador de que pudiera suceder algo en el universo.
La biblioteca me facilita un par de versiones de la paradoja gloriosa. La primera es la del hispanísimo Diccionario hispano-americano, en su volumen vigésimo tercero, y se reduce a esta cautelosa noticia: “El movimiento no existe: Aquiles no podría alcanzar a la perezosa tortuga.” Declino esa reserva y busco la menos apurada exposición de G.H. Lewes, cuya Biographical History of Philosophy fue la primera lectura especulativa que yo abordé, no sé si vanidosa o curiosamente. Escribo de esta manera su exposición: Aquiles, símbolo de rapidez, tiene que alcanzar la tortuga, símbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces más ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro; Aquiles corre ese decímetro, la tortuga corre un centímetro; Aquiles corre ese centímetro, la tortuga corre un milímetro, Aquiles el milímetro, la tortuga un décimo de milímetro, y así infinitamente, de modo que Aquiles puede correr para siempre sin alcanzarla. Así la paradoja inmortal.
Paso a las llamadas refutaciones. Las de mayores años- la de Aristóteles y la de Hobbes- están implícitas en la formulada por Stuart Mill. El problema para él, no es más que uno de tantos ejemplos de la falacia de la confusión. Cree, con esta distinción, abrogarlo:
En la conclusión del sofisma, para siempre quiere decir cualquier imaginable lapso de tiempo; en las premisas, cualquier número de subdivisiones de tiempo. Significa que podemos dividir diez unidades por diez, y el cociente otra vez por diez, cuantas veces queramos, y que no encontrarán fin las subdivisiones del recorrido, ni por consiguiente las del tiempo en que se realiza. Pero un ilimitado número de subdivisiones puede efectuarse con lo que es limitado. El argumento no prueba otra infinitud de duración que la contentible en cinco minutos. Mientras los cinco minutos no hayan pasado, lo que falta puede ser dividido por diez, y otra vez por diez, cuantas veces se nos antoje, lo cual es compatible con el hecho de que la duración total sea cinco minutos. Prueba, en resumen, que atravesar ese espacio finito requiere un tiempo infinitamente divisible, pero no infinito (Mill, Sistema de lógica, libro V, capítulo VII ).
No anteveo el parecer del lector, pero estoy sintiendo que la proyectada refutación de Stuart Mill no es otra cosa que una exposición de la paradoja. Basta fijar la velocidad de Aquiles a un segundo por metro, para establecer el tiempo que necesita.
El límite de la suma de esta infinita progresión geométrica es doce (más exactamente once y un quinto; más exactamente, once con tres veinticincoavos), pero no es alcanzado nunca. Es decir, el trayecto del héroe será infinito y éste correrá para siempre, pero su derrotero se extenuará antes de doce metros, y su eternidad no verá la terminación de doce segundos. Esa disolución metódica, esa limitada caída en precipicios cada vez más minúsculos, no es realmente hostil al problema: es imaginárselo bien. No olvidemos tampoco de atestiguar que los corredores decrecen, no sólo por la disminución visual de las personas, sino por la disminución admirable a que los obliga la ocupación de sitios microscópicos. Realicemos también que esos precipicios eslabonados corrompen el espacio y con mayor vértigo el tiempo vivo, en su
doble desesperada persecución de la inmovilidad y del éxtasis.
Otra voluntad de refutación fue la comunicada en 1910 por Henri Bergson. En el notorio Ensayo sobre los datos inmediatos de la conciencia: nombre que comienza por ser una petición de principio. Aquí está su página:
«Por una parte, atribuimos al movimiento la divisibilidad misma del espacio que recorre, olvidando que puede dividirse bien un objeto, pero no un acto; por otra, nos habituamos a proyectar este acto mismo en el espacio, a aplicarlo a la línea que recorre el móvil, a solidificarlo, en una palabra. De esta confusión entre el movimiento y el espacio recorrido nacen, en nuestra opinión los sofismas de la escuela de Elea; porque el intervalo que separa dos puntos es infinitamente divisible, y si el movimiento se compusiera de partes como las del intervalo, jamás el intervalo sería franqueado. Pero la verdad es que cada uno de los pasos de Aquiles es un indivisible acto simple, y que después de un número dado de estos actos, Aquiles hubiera adelantado a la tortuga. La ilusión de los eleatas provenía de la identificación de esta serie de actos individuales sui generis con el espacio homogéneo que los apoya. Como este espacio puede ser dividido y recompuesto según una ley cualquiera, se creyeron autorizados a rehacer el movimiento total de Aquiles, no ya con pasos de Aquiles, sino con pasos de tortuga. A Aquiles persiguiendo una tortuga, sustituyeron en realidad, dos tortugas relegadas la una sobre la otra, dos tortugas de acuerdo en dar la misma clase de pasos o de actos simultáneos, para no alcanzarle jamás. ¿Por qué Aquiles adelanta a la tortuga? Porque cada uno de los pasos de Aquiles y cada uno de los pasos de la tortuga son indivisibles en tanto que movimientos, y magnitudes distintas en tanto que espacios: de suerte que no tardará en darse la suma, para el espacio recorrido por Aquiles, como una longitud superior a la suma del espacio recorrido por la tortuga y de la ventaja que tenía respecto de él. Es lo que no tiene en cuenta Zenón cuando recompone el movimiento de Aquiles, según la misma ley del movimiento de Aquiles, según la misma ley que el movimiento de la tortuga, olvidando que sólo el espacio se presta a un modo de composición y descomposición arbitrarias, y confundiéndolo así con el movimiento» (datos inmediatos, versión española de Barnés, págs 89, 90. Corrijo, de paso, alguna distracción evidente del traductor). El argumento es concesivo. Bergson admite que es infinitamente divisible el espacio, pero niega que lo sea el tiempo. Exhibe dos tortugas en lugar de una para distraer al lector. Acollar un tiempo y un espacio que son incompatibles: el brusco tiempo discontinuo de James, con su perfecta efervescencia de novedad, y el espacio divisible hasta lo infinito de la creencia común.
Arribo, por eliminación, a la única refutación que conozco, a la única de inspiración condigna del original, virtud que la estética de la inteligencia está reclamando. Es la formulada por Russell. La encontré en la obra nobilísima de William James, Some problems of Philosphy, 1919; our Knowledge of teh External World, 1926-, libros de una lucidez inhumana, insatisfactorios e intensos. Para Russell, la operación de contar es (intrinsecamente) la de equipar dos series. Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron muertos por el Ángel, salvo los que habitaban en casa que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad; otras operaciones hay en que es infinita, pero podemos demostrar que son tantos los impares como los pares.
La prueba es tan irreprochable como baladí, pero no difiere de la siguiente de que hay tantos múltiplos de 3.018 como números hay.
Lo mismo puede afirmarse de sus potencias, por más que éstas se vayan rarificando a medida que progresemos.
Una genial aceptación de estos hechos ha inspirado la fórmula de que una colección infinita-verbigracia, la serie de los número natura-les-es una colección cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas. La parte, en esas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en un metro de universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar. El problema de Aquiles cabe dentro de esa heroica respuesta. Cada sitio ocupado por la tortuga guarda proporción con otro de Aquiles, y la minuciosa correspondencia, punto por punto, de ambas series simétricas, basta para publicarlas iguales. No queda ningún remanente periódico de la ventaja inicial dada a la tortuga: el punto final en su trayecto, el último en el trayecto de Aquiles y el último en el tiempo de la carrera, son términos que matemáticamente coinciden. Tal es la solución de Russell. James, sin recusar la superioridad técnica del contrario, prefiere disentir. Las declaraciones de Russell (escribe) eluden la verdadera dificultad, que atañe a la categoría creciente del infinito, no a la categoría estable, que es la única tenida en cuenta por él, cuando presupone que la carrera ha sido corrida y que el problema es el de equilibrar los trayectos. Por otra parte, no se precisan dos: el de cada cual de los corredores o el mero lapso del tiempo vacío, implica la dificultad, que es la de alcanzar una meta cuando un previo intervalo sigue presentándose vuelta y vuelta y obstruyendo el camino( Some Problems of Philosophy, 1911, pág. 181).
He arribado al final de mi noticia, no de nuestra cavilación. La paradoja de Zenón de Elea, según indicó James, es atentatoria no solamente a la realidad del espacio, sino a la más vulnerable y fina del tiempo. Agrego que la existencia en un cuerpo físico, la permanencia inmóvil, la fluencia de una tarde en la vida, se alarman de aventura por ella. Esa descomposición es mediante la sola palabra infinito, palabra ( y después concepto) de zozobra que hemos engendrado con temeridad y que una vez consentida en un pensamiento, estalla y lo mata. ( Hay otros escarmientos antiguos contra el comercio de tan alevosa palabra: hay la leyenda china del cetro de los reyes de Liang, que era disminuido en una mitad por cada nuevo rey; el cetro, mutilado por dinastías, persiste aún) Mi opinión, después de las calificadísimas que he presentado, corre el doble riesgo de parecer impertinente y trivial. La formularé, sin embargo: Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo. Aceptemos el idealismo, aceptemos el crecimiento concreto de lo percibido, y eludiremos la pululación de abismos de la paradoja. ¿Tocar a nuestro concepto del universo, por ese pedacito de tiniebla griega?, interrogará mi lector.
Este texto, fue tomado del libro Discusión, de Jorge Luis Borges. Segunda reimpresón: 2002, Biblioteca Borges, Alianza Ediotores.
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